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MATEMATICA NO ENEM

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Bem, sabemos que ocorreram mudanças no ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio): o exame passou a ser aplicado em dois dias, com uma quantidade superior de questões (de 63 questões para 180 questões). Aqui veremos quais são os conteúdos programáticos que devem ser estudados, segundo o edital do ENEM publicado pelo INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas).

Para aqueles que não conhecem nosso portal, temos um acervo com vários artigos, em que você encontrará explicações acerca de diversos temas e conteúdos. Dessa forma, você poderá conferir e estudar vários dos conteúdos do ENEM em nosso site.

No entanto, os conteúdos não são o fator mais importante a ser ressaltado, uma vez que o ENEM procura alunos com criticidade e raciocínio lógico, algo que a Matemática por si só não garante. Com isso, ao estudar os conteúdos matemáticos, busque exercícios contextualizados e interdisciplinares, pois estes trabalham a interpretação das informações para a construção de um raciocínio acerca do fenômeno de cada situação-problema.

Caso queira conferir nossos artigos, os conteúdos abaixo apresentam links referentes aos textos do tema desejado:

• Conhecimentos numéricos: operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais ereais), desigualdades, divisibilidade, frações, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros,relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

• Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas (aqui e aqui); simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

• Conhecimentos de estatística e probabilidade: representação e análise de dados; medidas de tendência central (média aritmética, média ponderada, média harmônica, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

• Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e funções algébricas do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

• Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas (horizontais e verticais, paralelas,perpendiculares; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações, solução de sistemas de equações.

Entretanto, conhecer todos os conceitos e não saber utilizá-los em uma situação-problema torna-se um conhecimento inválido, portanto busque assimilar os conceitos com situações do dia a dia, procure as provas do ENEM e resolva-as elencando todo o processo para a resolução de cada questão, pontuando quais conceitos foram usados em cada uma. Como foi dito, para resolver as situações-problema que serão questionadas no ENEM, será necessário organizar as ideias, interpretar os dados e informações de diferentes formas, relacionar as informações com os conteúdos e, assim, tomar uma decisão e enfrentar a situação-problema.

Cabe lembrar que não existem mais os conceitos matemáticos pela Matemática em si, dessa forma, as questões do ENEM possivelmente envolverão diversas informações que vão além de definições matemáticas. Além disso, não se deve estudar a Matemática apenas para o exame da área de Matemática e suas Tecnologias, pois ela é utilizada nas outras áreas, de forma evidente na área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.

MATEMATICA NO ENEM

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Desde o princípio da aplicação do ENEM, ocorreram alterações no exame, e a mais evidente é a mudança do nome das matrizes dos conteúdos. A partir dela, as perguntas, antes agrupadas em disciplinas, passaram a ser separadas por grandes áreas. Questões sobre as disciplinas de História, Geografia, Filosofia e Sociologia são elencadas na área de Ciências Humanas; as de Biologia, Física e Química, na área de Ciências da Natureza; e as disciplinas de Português, Literatura, Línguas, Artes e Educação Física, na área de Linguagens e Códigos.

Mas e a Matemática, onde foi parar? Ela possui uma área destinada somente para ela: Matemática e suas Tecnologias. Esta área abarca 45 questões do exame e, de acordo com o MEC, compreende sete competências, que devem ser trabalhadas no decorrer do Ensino Médio. Vale ressaltar que mesmo a Matemática tendo uma área destinada a ela, ainda assim ela tem grande presença nas outras áreas, em forma de gráficos e tabelas, dados estatísticos, expressões e fórmulas que representam fenômenos.

Estas competências podem ser verificadas no edital do ENEM. Elencaremos aqui as competências relacionadas à área de Matemática e suas Tecnologias:

• Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais;

• Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela;

• Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano;

• Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano;

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas;

• Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação;

• Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.

Analisando cada uma dessas competências, vemos que a prova de matemática trata-se de uma avaliação totalmente contextualizada e interdisciplinar. Em outras palavras, a disciplina deixou de ser um instrumento voltado somente para a matemática, passando a ter sua aplicabilidade em situações sociais. Para isso, a prova exige uma capacidade que vai além do conteúdo, fazendo com que o aluno desenvolva um raciocínio lógico acerca dos problemas levantados nas questões.

Sendo assim, fica evidente o principal objetivo do ENEM, que é o de reformar o Ensino Médio, mudando a forma como os colégios abordam o seu ensino, atualmente voltado para vestibulares que focam apenas o conteúdo. Ou seja, o ENEM busca promover uma avaliação que incentive os colégios a abandonarem esta educação conteudista, para que assim possam ser formados alunos que compreendam os fenômenos, resolvam problemas e desenvolvam um raciocínio lógico por meio de reflexões acerca destas competências.

Apostila Enem 2013: Exemplo de questão

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Enem 2011, questão 146, caderno amarelo

Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:

- Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos:
100 calorias gastas em 20 minutos.

- Meia hora de supermercado: 100 calorias.

- Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.

- Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.

-Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.

- Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.

Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?
A) 50 minutos.
B) 60 minutos.
C ) 80 minutos.
D) 120 minutos.
E ) 170 minutos.

Resolução e comentários (por Luis e Ana Luísa):

De acordo com as informações do enunciado:

Atividade	Tempo (minutos)	Calorias
Falar ao telefone/agachamento	20	100
Compras no supermercado	30	100
Cuidar do jardim	30	200
Passear com cachorro	30	200
Tirar pó dos móveis	30	150
Lavar roupas	30	200

Buscamos descobrir qual tempo deve ser investido em cada atividade a fim de ter um gasto de 200 calorias. Observe que os tempos destinados a cuidar do jardim, passear com cachorro e lavar roupas não deverão ser alterados, pois o gasto calórico com cada atividade é de 200 calorias.

Falar ao telefone/agachamento

Ou seja, deverá ser feito um total de 40 minutos de agachamento para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 20 minutos para 40 minutos (aumento de 20 minutos).

Compras no supermercado

Ou seja, deverá ser feito um total de 60 minutos de compras no supermercado para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 30 minutos para 60 minutos (aumento de 30 minutos).

Tirar pó dos móveis

Ou seja, deverá ser gasto um total de 40 minutos tirando pó dos móveis para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 30 minutos para 40 minutos (aumento de 10 minutos).

Portanto serão gastos a mais 20+ 30 + 10 = 60 minutos para realizar todas as atividades gastando igualmente 200 calorias em cada uma delas.

Alternativa B

Comentário: Esta questão pode ser resolvida apenas através de uma observação cuidadosa e um pouco de cálculo mental. Veja:

Atividade	Tempo (minutos)	Calorias	Ajuste, no tempo, para que a atividade gaste 200 calorias
Falar ao telefone/agachamento	20	100	Dobrar o tempo, pois queremos dobrar o gasto calórico
Compras no supermercado	30	100	Dobrar o tempo, pois queremos dobrar o gasto calórico
Cuidar do jardim	30	200	Nenhum
Passear com cachorro	30	200	Nenhum
Tirar pó dos móveis	30	150	Aumentar um terço do tempo, pois queremos aumentar o gasto calórico em um terço
Lavar roupas	30	200	Nenhum

Portanto serão gastos 20+ 30 + 10 = 60 minutos a mais para realizar todas as atividades gastando igualmente 200 calorias em cada uma delas.

Conteúdo envolvido: Proporção.

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Arranjo ou Combinação?

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Nas situações envolvendo problemas de contagem podemos utilizar o PFC (Princípio Fundamental da Contagem). Mas em algumas situações os cálculos tendem a se tornar complexos e trabalhosos. Visando facilitar o desenvolvimento de tais cálculos, alguns métodos e técnicas foram desenvolvidos no intuito de determinar agrupamentos nos problemas de contagem, consistindo nos Arranjos e nas Combinações.

Vamos estabelecer algumas diferenças entre arranjos e combinações. Os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Já as combinações são caracterizadas pela natureza dos elementos.

Arranjos

Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de dois elementos do conjunto B, são:

{(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6)}

Veja que cada arranjo é diferente do outro. Portanto, são caracterizados:

Pela natureza dos elementos: (2,4) ≠ (4,8)

Pela ordem dos elementos: (1,2) ≠ (2,1)

Combinação
Em uma festa de aniversário será servido sorvete aos convidados. Serão oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado deverá escolher dois entre os quatro sabores. Notemos que, não importa a ordem em que os sabores são escolhidos. Se o convidado escolher morango e chocolate {MC} será a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente.
Portanto, na combinação os agrupamentos são caracterizados somente pela natureza dos elementos.

Exemplo 1 – Arranjos simples

Em um colégio, dez alunos candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grêmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?
Temos dez alunos disputando duas vagas, portanto, dez elementos tomados dois a dois.

Exemplo 2 – Combinações

Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?
Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Anagramas

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As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos.

Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.

Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!

Exemplo 1

Quais os anagramas da palavra AMOR?
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Exemplo 2

Formar os anagramas a partir da palavra PATO

Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências.
P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO
APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT
TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA
OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP

Exemplo 3

Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?

A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Análise Combinatória

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Princípios e exercícios sobre análise combinatória.

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos

Como calcular probabilidades

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Para aprender como fazer cálculos de análise combinatória, útil para determinar probabilidades, veja um exercício resolvido:

Escrito há cerca de 3 mil anos, o "I - Ching" ou "Livro das Mutações" apresenta um conjunto de símbolos criados a partir de dois princípios (o masculino Yang, representado por uma linha inteira -, e o feminino Ying, representado por uma linha quebrada - - ).

Entre outras funções, esse conjunto de símbolos permitiria adivinhar o futuro, o que torna o livro muito popular ainda hoje em dia. A base do sistema é um conjunto de três símbolos montados com as linhas Ying e Yang, que se constróem do seguinte modo:

1^osímbolo	2^osímbolo	3^osímbolo

A essas figuras chamadas Pa-Kua (as Oito Mutações), atribuíam-se nomes, características, imagens, papéis numa estrutura familiar, além dos pontos cardeais, como se vê a seguir:

Norte	Nordeste	Leste	Sudeste

Sul	Sudoeste	Oeste	Noroeste

Combinando-se dois desses trigramas, obtém-se um hexagrama, figura de significado ainda mais amplo, que constitui a resposta do oráculo a uma pergunta de quem o consulta. Por exemplo:

Sem entrar nas questões de caráter filosófico ou oracular do I-Ching, podemos nos perguntar: quantos hexagramas é possível formar com cada dois trigramas?

1^otrigrama	2^otrigrama	Total: 64 hexagramas
8 possibilidades	8 possibilidades	Total: 64 hexagramas

Pensando de forma análoga, podemos considerar que se constrói um hexagrama escolhendo seis símbolos de um grupo de dois (linha inteira, linha quebrada). Assim, o total de símbolos será 2⁶ = 64.

Usamos aqui um princípio multiplicativo que é a base da análise combinatória, um conjunto de procedimentos que sistematiza a contagem de agrupamentos.

O princípio fundamental da contagem

Um evento ocorre em n etapas, sucessivas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k₁ maneiras, a segunda etapa ocorre de k₂maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k_n. Então, o evento pode ocorrer de k₁, k₂, ... .K_n maneiras distintas.

Essa é a versão multiplicativa do princípio: para que ocorra o evento, todas as etapas devem ser cumpridas. Por exemplo: para se escolher um número de três algarismos, devemos escolher o algarismo das unidades e das dezenas e também das centenas - não se podem omitir quaisquer etapas. Se as etapas não forem sucessivas, mas alternativas, o princípio fica enunciado assim:

Um evento ocorre em n etapas, alternativas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k₁ maneiras, a segunda etapa ocorre de k₂maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k₂. Então, o evento pode ocorrer de k₁2 + ... + K_n maneiras distintas.

Se, para o seu almoço, você pode escolher um lanche com ou sem maionese, então você pode escolher entre dois lanches!

Agrupamentos

De modo geral, pode-se resolver um grande número de situações de contagem usando os princípios fundamentais. No entanto, alguns conjuntos podem ser agrupados por critérios que facilitam a sua compreensão; compreender a que classe de agrupamento pertence a situação que estamos tratando pode facilitar muito a resolução.

Arranjos: são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos é relevante. Três pessoas (A, B, C) que se inscrevem em um concurso que premia os dois primeiros lugares podem dar a esse concurso seis classificações distintas:

1^o lugar	2^o lugar
A	B
A	C
B	A
B	C
C	A
C	B

Observe que duas mesmas pessoas podem terminar o concurso de duas maneiras distintas.

O número de arranjos possíveis de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n

p pode ser escrito como:

Combinações: são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é relevante. No exemplo anterior, se as pessoas A, B e C tivessem que se organizar para formar uma comissão de duas pessoas, só haveria três possibilidades : A e B, A e C, B e C. O número de combinações de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n

p é:

As permutações são casos particulares de arranjos em que o número de elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis:

A sistemática da análise combinatória não é novidade. Em toda a história do desenvolvimento matemático do homem aparecem registros de investigações nos cálculos de possíveis agrupamentos:

Na obra de Euclides (300 a.C.) há um método para se encontrar o valor de (1 + x)²;

Além da fórmula resolutiva para equações de 2^o grau, Baskhara descreveu algumas situações práticas em que se permutam possibilidades - na poesia, na arquitetura e na medicina;

Trabalhos do início da Era Cristã relacionados à cabala analisam combinações e permutações entre números inteiros;

Astrônomos da Idade Média calculavam as possíveis conjunções entre dois, três, n planetas,

À época do Renascimento, a pressão das recentes descobertas e necessidades mercantis fizeram com que matemáticos europeus desenvolvessem a sistemática de combinatória na descrição de várias circunstâncias: as possibilidades de n pessoas se sentarem em torno de uma mesa, as combinações possíveis de fechaduras, os agrupamentos possíveis de objetos e, naturalmente, as chances nos jogos de azar.

Apesar de tantas outras motivações, foi o interesse pelos jogos de azar a grande motivação para o desenvolvimento da análise combinatória, nos trabalhos de Pascal e Fermat. Naturalmente, outros ramos da matemática usaram esse conhecimento e vieram a se desenvolver: a probabilidade, a teoria de grafos, os conjuntos e a criptologia. A chance de jogos como a MegaSena é um saber relacionado à análise combinatória